2018数学竞赛欧洲杯答案2018数学竞赛欧洲杯答案

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2018数学竞赛欧洲杯题目解析 1：代数与方程** 要求解方程：
[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 ]

解析：
这是一个二次方程，可以通过求根公式来解，二次方程的一般形式为 ( ax^2 + bx + c = 0 )，其解为：
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] 中的系数：
( a = 3 )，( b = -4 )，( c = 1 )。

计算判别式：
[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 16 - 12 = 4 ]

方程的解为：
[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} ]

两个解分别为：
[ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1 ]
[ x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} ]

答案：
方程的解为 ( x = 1 ) 和 ( x = \frac{1}{3} )。

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2：几何与三角形**

已知一个三角形的三个内角分别为 ( 30^\circ )、( 60^\circ ) 和 ( 90^\circ )，求该三角形的边长比例。

解析：
这是一个直角三角形，角度分别为 ( 30^\circ )、( 60^\circ ) 和 ( 90^\circ )，根据直角三角形的性质，边长比例为 ( 1 : \sqrt{3} : 2 )，

• 对应 ( 30^\circ ) 角的边长为 ( 1 ) 单位；
• 对应 ( 60^\circ ) 角的边长为 ( \sqrt{3} ) 单位；
• 对应 ( 90^\circ ) 角的边长为 ( 2 ) 单位。

答案：
边长比例为 ( 1 : \sqrt{3} : 2 )。

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3：概率与统计**

从一个包含 ( 5 ) 个红球和 ( 3 ) 个蓝球的袋子里随机抽取两个球，求恰好抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解析：
总共有 ( 5 + 3 = 8 ) 个球，抽取两个球的总组合数为：
[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28 ]

恰好抽到一个红球和一个蓝球的组合数为：
[ C(5, 1) \times C(3, 1) = 5 \times 3 = 15 ]

所求概率为：
[ P = \frac{15}{28} ]

答案：
概率为 ( \frac{15}{28} )。

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4：数列与级数**

求等比数列 ( 2, 4, 8, 16, \dots ) 的前 ( 5 ) 项和。

解析：
这是一个首项为 ( a = 2 )，公比为 ( r = 2 ) 的等比数列，前 ( n ) 项和的公式为：
[ S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1} ]

代入 ( n = 5 )：
[ S_5 = 2 \times \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 2 \times \frac{32 - 1}{1} = 2 \times 31 = 62 ]

答案：
前 ( 5 ) 项和为 ( 62 )。

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5：函数与图像**

已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x )，求其极值点。

解析：
求函数的导数：
[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 ]

令导数等于零,求临界点：
[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 ]

使用求根公式：
[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} ]

临界点为：
[ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} ]
[ x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} ]

判断这两个临界点是否为极值点,通过二阶导数检验：
[ f''(x) = 6x - 6 ]

代入 ( x_1 )：
[ f''(x_1) = 6 \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) - 6 = 6 + 2\sqrt{3} - 6 = 2\sqrt{3} > 0 ]
( x_1 ) 处有一个极小值。

代入 ( x_2 )：
[ f''(x_2) = 6 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) - 6 = 6 - 2\sqrt{3} - 6 = -2\sqrt{3} < 0 ]
( x_2 ) 处有一个极大值。

计算对应的函数值：
[ f(x_1) = \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 3\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) ]
[ f(x_2) = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 3\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) ]

经过计算,可以得到具体的极值点坐标。

答案：
函数 ( f(x) ) 在 ( x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} ) 处取得极小值，在 ( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} ) 处取得极大值。

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